古者包牺氏之王天下也仰则观象于天俯则观法于地周易系辞下
天地万物生生不息有太多的事物现象超出我们五官所及因为无法达到反而使得洞悉宇宙的奥秘成为人们生活的一部分
月球太阳是人们最早能观察到也是最先激发人们好奇心的天体两者与地球的运动导致了地球上的四季更迭冷暖交替不但如此人们还发现如果希望来年有一个好的收成必须对它们有更多的了解研究星空的天文学家为此而生他们除了业余爱好观察星空位置大小并记录外有时也一不小心就得到了一些意外发现不管有心还是无意这样的发现对指导农业生产还很有用
我们现在常用到的时间节点如年月日等以及历法都是古人天文学家长期观察和实践的结果他们不但洞悉了四季变化及天体如太阳月球周期运动的规律还设计了许多了仪器来确定历法可靠性及矫正观察的误差在这些仪器中日晷绝对是原理最简单又最实用中的一个
日晷起源于何时何处已不可考但从目前发掘的文物来看公元前1500年左右出现的古埃及影子钟便已具有了日晷的雏形2013年巴塞尔大学在埃及帝王谷的工人棚内发现了影子钟该钟由石灰石制成分十二份在圆孔处装有指针指针是影子钟的核心部分古埃及人依据指针的影长变化来计时
和许多发现一样古时候的几个主要文明都不约而同的使用了日晷来计时而在我国日晷更是被用到了极点
以土圭之法测土深正日景影以求地中又日至之景尺有五寸谓之地中天地之所合也
据说周公团队经过周密的测定得到当时的阳城今河南省登封市为天下之中既然阳城是中心周公决定在此立圭表以测日影
关于周公估计大家更熟悉的是周公解梦没错相传他的确是卜卦能手但是在历史上周公却有着无法超越的功绩借用尚书来说他一年救乱二年克殷三年践奄四年建侯卫五年营成周六年制礼乐七年致政成王不仅在政务上功勋卓越卜卦上出神入化周公对科学的贡献也是一流的
陕西周公庙壁画
回过头来看周公立的圭表尽管早在公元前20世纪陶寺遗址时期中国就开始使用圭表了但从未有过像周公一样深刻的革新圭表的构造很简单主要包含了表和圭两部分周公所立的圭表表高八尺185cm在太阳光照射下表的影子会落在圭上而且不同的时间点影子的长度也会不同具体来说周公经过观察后发现表的影子最短为一尺五寸35cm这一天被命名为夏至而日影最长一丈三尺五寸的一天定为冬至也就是恪遵宪度抄本中所记日北至日长之至日影短至故曰夏至至者极也注周朝一尺约为231cm
夏至冬至再结合昼夜时长相同的春分秋分我国二十四节气中的最早四个节气就这样形成了二十四节气对于指导农作起了指导性作用而在汉武帝太初元年公元前104年更是被吸收入太初历作为指导农事的历法补充在传承发展中二十四气被列入农历中成为农历一个重要部分形成阴阳合历至今仍在使用
最初的四个节气发展为二十四节气测日影的天文仪器也从圭表逐步发展为日晷仪器和历法在革新但规律却亘古不变每一年的夏至日和冬至日这天日晷上表的影长在每个地区都是一年中最长和最短的但是不同的地区对应的影长却千差万别中央又只有一个历表那地方该如何运用该历表计算时间呢
这个问题困扰了人们很久到了唐朝时期僧人一行巧妙解决了这一问题他做了两件事一要求地方官员测量当地夏至日影长二制表给出公式然后当地官员通过查表并计算得到其他节气所对应的影长
僧一行
关于制表及公式对天文学感兴趣的朋友可以阅读文献1有详细介绍这里主要谈及这些发现中与数学最贴近的一个
僧一行通过大量的数据测量运算发现在同一时间同一地点杆的影子会随着杆长的变化而变化但是它们的比值是保持不变的虽然僧一行所在时代还没有正切余切这一数学概念但是他却先见性的用影长与杆长的比值建立了世界上最早的正切函数表
一行的正切函数表
需要注意的问题是制定正切表与正切的发现是两码事最先使用类似于正切余切这一概念的是古埃及人它被记录在成书于约公元前17世纪的莱恩德纸草书中
一个金字塔形正四棱锥高是250腕尺cubit底面边长是360腕尺求seked值莱恩德纸草书第56题
什么是seked呢古埃及人将一倾斜直线每垂直升高一个单位时相对于垂线的水平偏离称之为seked即底边与高之比相当与直角三角形中底角的余切值
泰勒斯
由此可以将古埃及的seked看成正切函数的雏形随后古巴比伦人和古希腊人也对正切有一定研究在西方据说古希腊数学家泰勒斯更是通过正切的性质计算出了金字塔的高度这点其实是值得商榷的因为泰勒斯很有可能是依据相似三角形原理解出了金字塔的高度而并不应一定知晓正切概念要知道欧几里得之前的古希腊数学家热衷于几何而以正弦函数为代表的三角函数从喜帕恰斯开始才作为天文学的产物正式出现在历史舞台
随后的发展中阿拉伯数学的贡献也值得一提而且现代意义上的正切余切概念一定程度上便来自于古阿拉伯数学家巴塔泥的贡献巴塔泥生活在9世纪为了研究日晷他引入了直阴影和反阴影的概念如图直阴影即余切而反阴影即正切2
反阴影是太阳仰角的正切值
到此天文学中有了明确的正余切概念但要直到1583年才由丹麦数学家芬克FINKE第一次使用符号tangent来表示正切高中教材中tan便是tangent一词的简写随着三角学脱离天文学而成为数学的一部分正切函数在数学中也拥有了一席之地
总之日晷二十四节气正切函数都因测影问题产生并密不可分它们为指导古代农业科技的发展贡献了巨大力量但时代在进步随着沙漏摆钟计算机等更先进的计时工具的发明人们有了更精确的计时工具日晷这样的计时仪器也慢慢从实用工具变成了历史发明同时先进的仪器也让人们对日影的依赖近乎消失
原来的密不可分变成了现在的分道扬镳日晷进入了历史博物馆二十四节气继续隶属天文学正切函数则更多的在数学上发光发热它们又都重新在不同的轨迹上发生作用
参考文献
1刘金沂等唐代一行编成世界上最早的正切函数表自然科学史研究1986298309
2梁宗巨世界数学通史上M辽宁教育出版社2005
