牛吃草，是一类趣味数学问题，也是公务员考试数量关系中的的常考题型。今天，老周给大家分享牛吃草问题的三种解法。及对牛吃草问题的本质进行剖析，帮助大家更彻底、更轻松地破解牛吃草问题。
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牛吃草问题的三种解法：
第一种，牛吃草问题周氏比例法-老周原创方法。如果用第二三种方法计算量大，用此法很有效。
第二种，方程法。
第三种，公式法。
所谓的列表法，老周就不介绍了，实质是公式法或方程法的模式化。
基本牛吃草
例1：有一块匀速生长的草场，27头牛6周可以吃完，或者23头牛9周可以吃完.若是21头牛，要几周才可以吃完？
A.10 B.11 C.12 D.15
第一种方法、周氏比例法解牛吃草问题：
步骤看起来很多，掌握了，实际上很容易 ：）
第一步：把前二次的牛头数，时间的数字分两列写出来。
27 6
23 9
第二步：每两列数字相减，把结果写出来。4 与 3
第三步：二个差相除。4/3
第四步：求X.三点一线，把三数联起来进行运算,图中红线。按A-B*C＝27-9*4/3=15 算出结果X。
第五步：求Y.根据基本公式（牛-X）天＝Y，代入其中一排数据，比如第一排(27-15)*6=72
第六步：求结果。把X,Y，代入提问中，求出答案。(21-15)T=72 T=12
心语：老周看到有些牛吃草题目，用列方程或公式，计算较繁，所以在今年6月份，为大家发明了这么一个解法，可避开一些计算，更快的算出答案。实质是用比例法的思想解题，老周把这个牛吃草的解法，归在周氏比例法的系统中。此解法，后来被人盗用，并说成是他原创。老周表示，老周的原创解法欢迎大家转载，传播，但希望能尊重原创者，引用时注明出处。
精剖牛吃草问题：我们看此题，典型的牛吃草问题。草，是在不断生长的，它有生长的效率；牛，在努力吃草，它有吃草的效率。
牛吃草问题可以理解成为工程问题。牛有吃草的效率，草有生长的效率，而这个草场原有草量，就相当于工程总量。
每天的实际效率＝牛吃草的效率-草生长的效率。
工程总量＝实际效率*时间＝（牛吃草的效率-草生长的效率）* 时间
此题，我们知道牛的数量，但不知道牛的效率，工程总量（即原有草量）不知道，草的生长效率也不知道。题目缺乏条件，因为我们需要设值。假设每头牛每周吃1份草，假设草场每周长生草的效率是X份，设原有总草量是Y份
以上题为例：
第二种方法：公式法。
27头牛吃的总草量＝27*1 * 6＝
23头牛吃的总草量＝23*1 *9＝
它们同样吃完一个草场的草，可为什么27*6 不等于 23*9 呢？
原因在于它们吃的时间不同，草在不断生长，前者草只生长了6周，后者，草生长了9周。
27*1 * 6＝ 原有草量 + 草6周生长的量
23*1 *9＝ 原有草量 + 草9周生长的量
所以它们所吃的草量的差距，就等于9-6＝3周草生长的量，那么每一周草生长量＝(23*9 – 27*6)/(9-6)
（或从解方程的角度，直接把第二式减第一式，推出草每周生长率的公式）
所以，我们可总结出每周草生长量的公式：
X=(牛1*时间1 - 牛2*时间2) / (时间1-时间2)
（其实求Y，也有公式，这个等下老周在下文的电梯类牛吃草问题中跟大家介绍。）
公式法解题三步：
第一步，根据公式求出X。
第二步，根据牛吃草问题基本公式求出Y.
第三步，把X,Y代入问句，根据牛吃草基本公式，求出所问。
1、X=(23*9 –27*6)/(9-6)=15
2、Y=(23-15)*9=72
3、(21-15)T=72 T=12
提醒：在典型牛吃草问题中，吃草时间长的吃的总草量，总是大于吃草时间短的吃的总草量。比如这题23*9〉27*6。因为吃的时间长，草生长的量也多。
第三种方法：方程法。
根据原工程总量＝实际效率*时间＝（牛吃草的效率-草生长的效率）* 时间
列方程：
(27*1 – X ) * 6 = Y
(23*1 – X ) * 9=Y
因为我们设每头牛每天吃1份，27头牛就是27份
即（27-X）* 时间6 ＝ 原有草量Y
这也就是 （牛-X）* 时间＝Y 这个牛吃草问题基本公式的来源。
这个基本公式，需牢记！
牛的头数 与 草每天的生长量，本来是不能直接相减的！
这里因为设牛每天吃一份，所以牛头数的数量才和这些个牛每天的效率的数字相同。
然后，解方程：
X=15
Y=（27-15）*6＝72 代入其中一式。根据（牛-X）天 基本公式
（21-15）* T =72 代入问句。根据（牛-X）天 基本公式
T=12
例二：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天。那么它可供几头牛吃20天？
A.10 B.14 C.16 D.18
神算解析：
第一种方法：
12 25
24 10
12 / 15 ＝4/5
1.X=12-10*4/5=4
2.Y=(24-4)10=200
3.(N-4)20=200 N=14 选B.
第二种方法：
1. X=(25*12 – 24*10)/)(25-10)=4
2.Y=(24-4)10=200
3.(N-4)20=200 N=14 选B.
第三种列方程的解法，老周就不多说啦。
牛羊混杂型
例三：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
A.5 B.6 C.7 D.8
神算老周解析：
像这种牛羊混杂在一起的，先要统一成一种动物，牛或者羊。比如此题，我们统一成牛。80只羊等于20头牛，10头牛，60只羊相当于25头牛。
第一种方法：
16 20
20 12
4 / 8 ＝1/2
X=16-12*1/2=10
Y=(16-10)20=120
(25-10)T=120 T=8 选D.
第二种方法：
X=(16*20-20*12)/(20-12)=10
Y=(16-10)20=120
(25-10)T=120 T=8 选D
排队问题
例四：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
A.9 B.10 C.11 D.12
神算老周解析：排队问题，也是一类牛吃草问题。检票口相当于牛，队伍原来的长度相当于原有草量，每分钟来的旅客数相当于草的增长量。
第一种方法：
4 30
5 20
1 10 1/10
X=4-20*1/10=2
Y=(4-2)30=60
(7-2)T=60 T=12
第二种方法：
(30*4-20*5)/(30-20)=2
Y=(4-2)30=60
(7-2)T=60 T=12
多块地问题
例五：有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周?
A.6 B.7 C.8 D.9
老周解析：多块地问题，是一类特殊的牛吃草问题，跟其它牛吃草问题不同。就是草的总量是不一样的。此类题目大家记住，这里的牛＝牛头数/面积（牛吃草，牛是踩在草场上，草场在下面。咯样来记忆，别记反了！）。其它跟基本牛吃草问题解法一样。
第一种方法：
24/4 6
36/8 12
1.5 6 1/4
X=6-12*1/4=3
Y=(6-3)6=18
(50/10-3)T=18 T=9 选D。
第二种方法：
(4.5*12 –6*6) /( 12-6 ) =3
Y=(6-3)6=18
(50/10-3)T=18 T=9 选D。
例六：如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
解析：此题由于牛17/28-22/33 不好算，所以用第三种方法。
X=(17/28*84 – 22/33*54)/(84-54)= 1/2
Y=(22/33-1/2 )*54=9
(N/40-1/2)24=9 N=35 选D.
行程问题（多人相遇、多人追及、电梯问题）
例七：有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车分別用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中速车每小时走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？
A.17 B.18 C.19 D.20
神算老周分析：前面，老周跟大家说过，牛吃草问题可理解成工程问题。实际上，也可理解成行程问题。甲乙两个人在走路，甲在乙前面，他们相距的距离就是原有草量，在前面的甲就是草场不断生长的草，在后面追的乙就是不断吃草的牛。跟牛吃草问题本质是一样的。
第一种解法：
24 6
20 10
4 / 4 = 1
X=24-10*1=14
Y=(24-14)6=60
(N-14)12=60 T=19
第二种解法：
X=(20*10-24*6)/(10-6)=14
Y=(24-14)6=60
(N-14)12=60 T=19
电梯型牛吃草
点睛：像此类电梯型的牛吃草问题，往往会要我们求扶梯的长度，也就是求Y，原有草量。在这里，老周再给大家一个公式。遇到此类题，用此公式，直接秒杀！
Y=(牛1-牛2) / (1/T1 - 1/T2)
例八：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？（ ）
A. 80 级
B. 100级
C. 120级
D. 150级
解析： 公式秒杀：Y=(20-15)(1/5-1/6)=5: 1/30 =150 选D。
下面我们用前面的两种解法来试试：
大家注意，在这里电梯是向上走的，人也是向上走，那么这里的“草生长速度”，即电梯增长速度，其实是呈一个负数。
它不是不断生长，而是不断消亡。这就是“草消亡”型的牛吃草问题。如果人往上走，电梯往下走，那么就是正常牛吃草。
第一种解法：
20 5
15 6
5 / 1= 5 X=20-6*5=-10 Y=(牛-X)天＝（20-（-10））*5＝150 选D
第二种解法：
（15*6-20*5）/(6-5)＝-10 Y=(牛-X)天＝（20-（-10））*5＝150 选D
神算老周总结：牛吃草问题中，一般时间长的那个乘积它比较大，要放前面（此题即15*6放前面），如果时间长的那个乘积比较少，算出来结果会是一个负数，那就说明是草消亡型的牛吃草问题。
例九：自动扶梯以匀速自下而上行驶，甲每秒钟向上走1级梯，乙每秒钟向上走2级梯，结果甲30秒钟到达梯顶，乙20秒钟到达梯顶，该扶梯共有多少级？（）
A.40 B.60 C.80 D.100
解析： 公式秒杀：Y=(2-1)(1/20-1/30)= 1: 1/60 =60 选B.
速算小知识：1/A-1/B =(B-A)/AB
比如 1/5-1/6=(6-5)/(5*6)=1/30 1/20-1/30=(30-20)/(20*30)=1/60
